一、引言

    眾所周知，應變式負荷傳感器的輸出隨其溫度的變化而變化，當其使用的環境溫度與校準時的溫度不同，會對其力值測量帶來附加誤差。因此，傳感器制造者通常采取在其彈性體上貼溫度補償片的方法減少該影響。用這種物理方法可以使傳感器溫度影響降低到10^-5/10k量級。筆者通過實踐，發現可以用數學方法實現對傳感器的輸出進行實時溫度修正(或稱補償)，其效果與物理方法等同，而且省工、省時、省材料，可降低傳感器制造成本。
    

二、校準數據

    校準時， 在一臺型號為LC -30300kN 0.02級的應變式負荷傳感器的彈性體上，除了貼應變全橋測量其受力變形引起的輸出外， 還加貼PT1000鉑熱電阻用于實時測量彈性體溫度。在1MN力標準機上校準該傳感器， 校準溫度分別為5℃、10℃、15℃、20℃、25℃、30℃和35℃，檢定點分別為30kN、90kN、150kN、210kN和270kN。表1給出其校準原始數據。
    為便于計算，根據表1數據，計算出某溫度(t℃)下傳感器輸出與20℃下輸出差Δx=x-x₂₀與溫度差Δt=t-20℃， 數據如表2所示。據此，繪出其對應圖形，如圖1所示。由表2、圖1可見，不論哪一負荷，其輸出皆隨溫度增高而逐漸變小。其相對變小，如圖2所示，范圍在-0.1%～0.3%。
    

表1  溫度補償前傳感器校準數據
    

表2  溫度補償前輸出差Δx=x-x₂₀與溫度差Δt=t-20℃
    

圖1  輸出差(x-x₂₀)與溫度差t-20℃
    

三、溫度校準方程

    1.校準方程x(t)與x(Δt)
    有關學者已對負荷傳感器的力校準方程進行了研究。本文將在有關學者對負荷傳感器溫度修正系數研究的基礎上，對其溫度校準方程進行分析研究。傳感器的溫度校準方程是指，在一定力值作用下傳感器的輸出隨其周圍溫度(確切地說是其彈性體溫度)變化的函數關系，即輸出x與溫度t，或表示成函數x(t)。
    

 圖2  輸出相對差(x_t-x₂₀)/x₂₀與溫度差t-20℃    

圖3  分別用1～5次溫度校準方程x(t)修正后輸出相對誤差與溫度(30kN校準點)
    

 圖4  分別用1～5次溫度校準方程x(Δt)修正后輸出相對誤差與溫度差Δt=t-20℃(30kN校準點)    

    表3  溫度5次校準方程x(Δt)系數

    按照解析數學的觀點， 任何一個函數通過泰勒(Taylor，B)級數展開，總可用一個多項式表示，即
    

    此時的問題是， 在滿足一定的準確度條件下(如10^-5量級)，根據傳感器在不同溫度的輸出校準值(見表1或表2)，利用最小二乘法確定式(1)中的系數a_i及其階數n。
    由式(1)得到的常數項a₀實質上是周圍溫度為0℃時傳感器的輸出計算值。為使多項式的常數項是周圍溫度為20℃時傳感器的輸出計算值， 利用式(2)作為傳感器的溫度校準方程，即
    

    式中:Δt=t-20℃， 為校準時周圍溫度t與20℃之差。
    計算結果表明，無論是式(1)或式(2)，隨著階次n的增加，傳感器輸出溫度修正后的相對誤差逐漸減少， 由10^-4減少到10^-5。圖3和圖4分別給出校準力值為30kN時，校準方程的階次n=1、2、……、5時，由式(1)或式(2)得到的傳感器輸出溫度修正后的相對誤差。當階次n=5時，該相對誤差不超過?2.5?10^-5。表3給出校準力值為30kN、90kN、150kN、210kN和270kN，校準方程的階次n=5時，與式(2)對應的系數。圖5給出按表3數據對傳感器輸出進行實時溫度修正后的相對誤差。由圖5可見，用數學方法修正后的全部相對誤差均不超過?4?10^-5。
    2.溫度修正值與施加力值根據表3的數據， 可以算出在每個校準負荷下， 與任何校準溫度對應的輸出修正值Δx_corΔt(f)，如圖6所示。由圖5可見，不同溫度下的輸出修正值均與校準力值呈線性關系， 其斜率的代數值隨溫度差Δt℃的代數值變大而減小， 從正值變到負值；當Δt=0℃時，其修正值與斜率均等于0。
    據此， 用最小二乘法擬合出在不同溫度下的輸出修正值與校準力值的直線方程ΔxcorΔt=c₀ c₁f及其相關系數R²，如表4所示。由此可以計算出與任何校準力值對應的輸出修正值。對于非校準溫度下的輸出修正值可借助表4中給出的擬合直線，用內插方法推算。用內插方法得到的非校準溫度下的輸出修正值對其輸出進行修正后，其輸出的相對誤差一般在?0.03%以內。
    

四、力校準方程

    力校準方程是指，為了使測力儀(或稱重傳感器)在一定力值范圍內連續使用， 根據有限數目的定度數據建立起來的變形示值(或輸出)與負荷之間的關系式。這種方程一般為直線、二次曲線或三次曲線方程。根據表1、表5給出對應的在不同校準溫度下的三次曲線方程系數。圖7給出3次力校準方程內插誤差，全部內插誤差均不超過?2.5?10^-5。
    

    圖5  用5次溫度校準方程x(Δt)修正后輸出相對誤差與溫度差Δt=t-20℃
    

圖6  修正值(Δt=-15℃、-10℃、-5℃、0，5℃、10℃、15℃)與施加負荷
    

表4  輸出修正值與校準力值的直線方程:截距、斜率及其相關系數
    

表5  3次力校準方程系數
    

五、結束語

    在不同溫度下校準應變式負荷傳感器后， 利用最小二乘法擬合出輸出隨其周圍溫度變化的溫度校準方程， 借助該方程可對傳感器輸出進行溫度實時修正。當其作為校準方程的多項式的階次達到5次時，溫度修正后輸出的相對誤差可不超過?4?10^-5。
    在每個校準負荷下， 與每個校準溫度對應的輸出修正值均與校準力值呈線性關系， 其斜率的代數值隨溫度差Δt=t-20℃的代數值變大而減小， 從正值變到負值；在Δt=0時，其修正值與斜率均等于0。對于非校準溫度下的輸出修正值可用內插方法推算。根據溫度補償前傳感器校準數據， 利用最小二乘法擬合出3次力校準方程，其全部內插誤差均不超過?2.5?10^-5。
    

圖7  3次力校準方程內插誤差